15.3

分式的乘法与除法

按照分式乘除法则运算，先因式分解和约分以简化过程。

约 11 分钟分式

本文章目录

01 · 出发点

从“分式的乘法与除法”中的对象与问题出发

研究分母含字母的式子，掌握分式运算及分式方程的求解。

具体到“分式的乘法与除法”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

分式的乘法与除法的定义、条件与表示

分式相乘，把分子相乘、分母相乘；分式相除，把除式的分子分母颠倒后转化为乘法。实际计算宜先因式分解并交叉约分，再完成乘积。

按照分式乘除法则运算，先因式分解和约分以简化过程。

03 · 方法

围绕分母完成变形与检验

01
先记录所有分母不为零的限制条件，再对分子、分母因式分解以观察可约因式。
02
乘除法先约分，加减法先找最简公分母；分式方程则各项同乘最简公分母。
03
化简结果保留原式限制条件，解方程后把候选根代回原分母逐一检验。

04 · 例题

把方法落到具体问题

计算 $\dfrac{3x}{x^2-4}\div\dfrac{6}{x+2}$ 。

解

1
把除法转为乘法： $\dfrac{3x}{(x-2)(x+2)}\cdot\dfrac{x+2}{6}$ 。
2
约去公因式 $x+2$ ，并把 $3$ 与 $6$ 约分。
3
剩余因式组成 $\dfrac{x}{2(x-2)}$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

按照分式乘除法则运算，先因式分解和约分以简化过程。
除法除数不为零，因此除式不仅要有意义，其分子也不能为零；这一限制应在颠倒前记录。
结果为 $\dfrac{x}{2(x-2)}$ ，原式要求 $x\ne-2,2$ 。