26.3

反比例函数的性质

根据比例系数的符号判断图象所在象限和每个分支上的增减性。

约 11 分钟反比例函数

本文章目录

01 · 出发点

从“反比例函数的性质”中的对象与问题出发

研究乘积保持不变的两个变量，理解双曲线图象及其实际意义。

具体到“反比例函数的性质”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

反比例函数的性质的定义、条件与表示

当 $k>0$ 时，图象在第一、第三象限的每个分支内随自变量增大而减小；当 $k<0$ 时，在第二、第四象限的每个分支内随自变量增大而增大。

根据比例系数的符号判断图象所在象限和每个分支上的增减性。

03 · 方法

抓住乘积不变与双曲线分支

01
先判断两个变量是否满足乘积为非零常数，再写成 $y=\frac{k}{x}$ 并记录实际取值范围。
02
利用图象上一点求比例系数，根据其符号判断图象所在象限和各分支的变化趋势。
03
通过代入、图象交点或乘积关系解决问题，结果要符合单位和现实边界。

04 · 例题

把方法落到具体问题

函数 $y=\dfrac8x$ 上有两点的横坐标分别为 $1$ 和 $4$ 。比较对应函数值。

解

1
比例系数 $8>0$ ，两个正横坐标对应的点都在第一象限分支。
2
在第一象限分支内，函数值随横坐标增大而减小。
3
也可代入核对： $y(1)=8$ ， $y(4)=2$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

根据比例系数的符号判断图象所在象限和每个分支上的增减性。
若两个横坐标分处零的两侧，就不能直接套用同一分支内的增减性比较函数值。
横坐标为 $1$ 时的函数值较大，且 $8>2$ 。