11.8

多边形内外角与平面镶嵌

推导多边形内角和与外角和公式，并利用顶点处角度关系判断正多边形镶嵌。

约 11 分钟三角形

本文章目录

01 · 出发点

从“多边形内外角与平面镶嵌”中的对象与问题出发

从边、角和重要线段研究三角形，并推广到多边形的角度关系。

具体到“多边形内外角与平面镶嵌”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

多边形内外角与平面镶嵌的定义、条件与表示

从一个顶点向其余不相邻顶点作对角线，可把 $n$ 边形分成 $n-2$ 个三角形，所以内角和为 $(n-2)\cdot180^\circ$ 。任意凸多边形外角和为 $360^\circ$ 。

推导多边形内角和与外角和公式，并利用顶点处角度关系判断正多边形镶嵌。

03 · 方法

从图形语言到角边关系

01
先按题意画出或补全三角形，标清顶点顺序、内外角以及高、中线等已知对象。
02
把图形条件翻译成边长或角度关系，再选择三边关系、内角和、外角性质或多边形角和。
03
列出等式或不等式完成计算，并回到图形检查角度范围、线段位置和结论是否合理。

04 · 例题

把方法落到具体问题

判断正六边形能否单独铺满平面，并说明每个顶点需要几个正六边形。

解

1
正六边形每个内角为 $\dfrac{(6-2)\cdot180^\circ}{6}=120^\circ$ 。
2
计算 $360^\circ\div120^\circ=3$ ，结果是整数。
3
因此三个正六边形的内角可在同一顶点恰好围成周角。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

推导多边形内角和与外角和公式，并利用顶点处角度关系判断正多边形镶嵌。
用一种正多边形铺满平面时，若每个内角能以整数个围成 $360^\circ$ ，才可能实现无缝、不重叠的镶嵌。
正六边形可以单独镶嵌，每个公共顶点有三个正六边形相接。