24.11

正多边形、弧长与扇形面积

利用圆研究正多边形，并根据圆心角所占整周的比例计算弧长与扇形面积。

约 11 分钟圆

本文章目录

01 · 出发点

从“正多边形、弧长与扇形面积”中的对象与问题出发

研究圆中点、线、角和弧的关系，并解决切线与度量问题。

具体到“正多边形、弧长与扇形面积”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

正多边形、弧长与扇形面积的定义、条件与表示

圆心角占周角的比例，等于其所对弧长占圆周长的比例，也等于相应扇形面积占圆面积的比例。正多边形可分割为以圆心为公共顶点的全等等腰三角形。

利用圆研究正多边形，并根据圆心角所占整周的比例计算弧长与扇形面积。

03 · 方法

连接圆心，把圆的问题化为三角形

01
先辨认圆心、半径、弦、弧、圆周角或切点，明确各对象所对应的弧与角。
02
适时连接圆心与端点、切点，或作圆心到弦和直线的垂线，构造等腰或直角三角形。
03
选用圆心角、垂径、圆周角或切线性质推导，再检查弧的范围和长度单位。

04 · 例题

把方法落到具体问题

半径为 $6\text{ cm}$ 、圆心角为 $60^\circ$ 的扇形，求弧长和面积。

解

1
该扇形占整圆的比例为 $\dfrac{60}{360}=\dfrac16$ 。
2
弧长为 $\dfrac16\cdot2\pi\cdot6=2\pi\text{ cm}$ 。
3
扇形面积为 $\dfrac16\cdot\pi\cdot6^2=6\pi\text{ cm}^2$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

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本节小结

利用圆研究正多边形，并根据圆心角所占整周的比例计算弧长与扇形面积。
使用弧长和扇形面积公式时，角度数与整周的 $360$ 相比；不要把弧度数直接代入角度公式。
弧长为 $2\pi\text{ cm}$ ，扇形面积为 $6\pi\text{ cm}^2$ 。