14.4

平方差公式

从多项式乘法理解平方差公式的结构，并在正向计算和逆向变形中使用。

约 11 分钟整式乘法与因式分解

本文章目录

01 · 出发点

从“平方差公式”中的对象与问题出发

建立整式乘法法则和乘法公式，并逆向运用它们分解因式。

具体到“平方差公式”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

平方差公式的定义、条件与表示

两个二项式的第一项相同、第二项互为相反数时，其积等于两项的平方差： $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 。识别时要把整体看作公式中的两项。

从多项式乘法理解平方差公式的结构，并在正向计算和逆向变形中使用。

03 · 方法

先辨结构，再运算或分解

01
先判断式子属于幂、单项式、多项式还是乘法公式结构，明确系数、指数和符号。
02
整式乘法按分配律逐项相乘，因式分解则从公因式或公式结构逆向寻找乘积。
03
运算后合并同类项；分解后检查是否已分解到不能继续，并用展开验证结果。

04 · 例题

把方法落到具体问题

计算 $103\times97$ 。

解

1
把两个因数写成 $(100+3)(100-3)$ 。
2
识别相同项为 $100$ 、相反项为 $3$ ，应用平方差公式。
3
计算 $100^2-3^2=10000-9=9991$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

从多项式乘法理解平方差公式的结构，并在正向计算和逆向变形中使用。
结果中先写相同项的平方，再减去相反项中任一项的平方；公式没有中间一次项。
$103\times97=9991$ 。