6.3

无理数与实数

根据小数表示特征区分有理数和无理数，理解实数由二者共同组成。

约 11 分钟实数

本文章目录

01 · 出发点

从“无理数与实数”中的对象与问题出发

由开方运算认识无理数，把数的范围从有理数扩充到实数。

具体到“无理数与实数”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

无理数与实数的定义、条件与表示

有理数可写成两个整数之比，其小数表示是有限小数或无限循环小数；无限不循环小数叫无理数。有理数和无理数统称实数，二者互不重叠。

根据小数表示特征区分有理数和无理数，理解实数由二者共同组成。

03 · 方法

开方与实数的范围判断法

01
先区分平方根、算术平方根和立方根，再检查被开方数的允许范围。
02
判断数的类型时观察它能否写成整数之比，而不是只看根号或小数外形。
03
估算无理数时寻找相邻完全平方数或完全立方数，再逐步缩小区间。

04 · 例题

把方法落到具体问题

在 $\sqrt{4},\ \sqrt{2},\ 0.121212\ldots,\ \pi$ 中找出无理数。

解

1
$\sqrt{4}=2$ ，是整数，属于有理数。
2
$0.121212\ldots$ 的循环节为 $12$ ，属于有理数。
3
$\sqrt{2}$ 与 $\pi$ 都是无限不循环小数。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

根据小数表示特征区分有理数和无理数，理解实数由二者共同组成。
$\sqrt{4}=2$ 是有理数，而 $\sqrt{2}$ 是无理数；必须先化简或依据数的本质判断，不能见到根号就归入无理数。
无理数是 $\sqrt{2}$ 和 $\pi$ 。