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圆周角

掌握同弧所对圆周角相等、圆周角等于圆心角一半及直径所对圆周角为直角。

约 11 分钟圆

本文章目录

01 · 出发点

从“圆周角”中的对象与问题出发

研究圆中点、线、角和弧的关系，并解决切线与度量问题。

具体到“圆周角”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

圆周角的定义、条件与表示

一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等。直径所对的圆周角是直角，反过来，九十度圆周角所对的弦是直径。

掌握同弧所对圆周角相等、圆周角等于圆心角一半及直径所对圆周角为直角。

03 · 方法

连接圆心，把圆的问题化为三角形

01
先辨认圆心、半径、弦、弧、圆周角或切点，明确各对象所对应的弧与角。
02
适时连接圆心与端点、切点，或作圆心到弦和直线的垂线，构造等腰或直角三角形。
03
选用圆心角、垂径、圆周角或切线性质推导，再检查弧的范围和长度单位。

04 · 例题

把方法落到具体问题

圆心角 $\angle AOB=120^\circ$ ，点 $P$ 在圆上且不在劣弧 $AB$ 上。求圆周角 $\angle APB$ 。

解

1
圆心角 $\angle AOB$ 与圆周角 $\angle APB$ 都对同一条弧 $AB$ 。
2
同弧所对圆周角等于圆心角的一半。
3
计算 $\angle APB=\dfrac12\times120^\circ=60^\circ$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

掌握同弧所对圆周角相等、圆周角等于圆心角一半及直径所对圆周角为直角。
判断两个圆周角能否相等，不看顶点是否接近，而看它们的两边在圆上截得的端点是否对应同一条弧。
圆周角 $\angle APB=60^\circ$ 。