25.5

概率的应用与公平性

利用概率比较游戏规则、抽样方案和决策风险，判断规则是否公平。

约 11 分钟概率初步

本文章目录

01 · 出发点

从“概率的应用与公平性”中的对象与问题出发

区分随机与确定现象，用列举和试验频率刻画事件发生的可能性。

具体到“概率的应用与公平性”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

概率的应用与公平性的定义、条件与表示

概率可用于比较游戏规则、抽样方案和决策风险。若参与者获胜的概率相同且收益、代价也相同，规则才具备基本的机会公平；概率相同并不自动保证所有评价维度都公平。

利用概率比较游戏规则、抽样方案和决策风险，判断规则是否公平。

03 · 方法

列清样本空间，再计算或估计

01
先明确一次随机试验、事件和所有可能结果，判断结果是否等可能。
02
结果有限且等可能时用列举、列表或树状图计数；不便理论计算时设计重复试验记录频率。
03
把概率解释回具体事件，并从长期趋势、样本量和规则对称性评价结论。

04 · 例题

把方法落到具体问题

掷一枚均匀六面骰子。出现 $1$ 或 $2$ 时甲胜，出现其余点数时乙胜，双方收益相同。判断规则是否公平。

解

1
甲获胜的有利点数为 $\{1,2\}$ ，所以 $P(\text{甲胜})=\dfrac26=\dfrac13$ 。
2
乙获胜的有利点数为 $\{3,4,5,6\}$ ，所以 $P(\text{乙胜})=\dfrac46=\dfrac23$ 。
3
双方收益相同，但获胜概率不同，因此比较机会即可判断。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

利用概率比较游戏规则、抽样方案和决策风险，判断规则是否公平。
若奖金额或损失不同，即使获胜概率相同，期望结果也可能不同；初步判断时至少要把概率和奖惩规则一起列出。
规则不公平，乙获胜的概率是甲的两倍。可把奇数与偶数分别分给双方，使获胜概率都为 $\dfrac12$ 。