13.6

对称作图与最短路径

利用对应点连线被对称轴垂直平分作轴对称图形，并用对称转化解决折线路径最短问题。

约 11 分钟轴对称与等腰三角形

本文章目录

01 · 出发点

从“对称作图与最短路径”中的对象与问题出发

研究图形关于直线的对称关系，并应用于等腰三角形和最短路径。

具体到“对称作图与最短路径”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

对称作图与最短路径的定义、条件与表示

作一点关于直线的对称点时，对称轴垂直平分原点与对应点的连线。求经过直线上一点的两段折线最短值，可把其中一个端点作对称，借助两点之间线段最短化折为直。

利用对应点连线被对称轴垂直平分作轴对称图形，并用对称转化解决折线路径最短问题。

03 · 方法

用对称把位置关系化为等量关系

01
识别对称轴、对应点和不动点，必要时作对应点连线并标出垂直、平分关系。
02
把轴对称转化为对应线段相等、对应角相等，或把等距条件转化为垂直平分线。
03
处理最短路径时先作对称点，把折线长度替换为两点之间的线段长度，再检验交点位置。

04 · 例题

把方法落到具体问题

点 $A,B$ 位于直线 $l$ 同侧，点 $P$ 在 $l$ 上移动。说明怎样确定 $AP+PB$ 最小时的点 $P$ 。

解

1
作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A'$ ，于是对任意 $P$ 有 $AP=A'P$ 。
2
因此 $AP+PB=A'P+PB$ ，它是一条从 $A'$ 经 $P$ 到 $B$ 的折线。
3
连接 $A'B$ ，令其与 $l$ 的交点为 $P$ ，此时折线化为线段。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

利用对应点连线被对称轴垂直平分作轴对称图形，并用对称转化解决折线路径最短问题。
连接对称点与另一端点后，要检查交点确实在线段、射线或题目给定的边界范围内；否则需比较端点情形。
直线 $A'B$ 与 $l$ 的交点就是所求点，最小值为 $A'B$ 。