30.3

几何设计项目

围绕测量、铺装或结构设计综合使用作图、全等、相似和面积知识形成方案。

约 11 分钟综合与实践

本文章目录

01 · 出发点

从“几何设计项目”中的对象与问题出发

综合代数、几何与统计方法，在真实问题中经历完整的数学探究过程。

具体到“几何设计项目”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

几何设计项目的定义、条件与表示

几何设计项目把尺寸、形状、材料和施工限制转化为作图、全等、相似、面积或最短路径问题。方案除计算正确外，还要考虑能否拼接、余料多少和测量误差。

围绕测量、铺装或结构设计综合使用作图、全等、相似和面积知识形成方案。

03 · 方法

问题、模型、证据、反思形成闭环

01
把真实主题收窄为可回答的数学问题，明确对象、变量、假设、评价标准和任务分工。
02
选择代数、几何或统计方法收集数据并建立模型，保留推理、计算和修正过程。
03
用实测、反例或另一种方法检验结论，说明适用范围、误差来源并清楚呈现成果。

04 · 例题

把方法落到具体问题

一间长 $4.8\text{ m}$ 、宽 $3.6\text{ m}$ 的矩形房间，要用相同的正方形地砖无缝铺满且不切割。求可选的最大砖边长和所需块数。

解

1
统一为厘米，房间尺寸为 $480\text{ cm}$ 与 $360\text{ cm}$ 。
2
最大砖边长是两个尺寸的最大公因数，得到 $\gcd(480,360)=120\text{ cm}$ 。
3
长边铺 $480\div120=4$ 块，宽边铺 $360\div120=3$ 块，共 $4\times3=12$ 块。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

围绕测量、铺装或结构设计综合使用作图、全等、相似和面积知识形成方案。
铺装与裁切问题常把米换算为厘米或毫米，再寻找能整除各边的尺寸，避免在不同单位间直接求公因数。
最大正方形地砖边长为 $120\text{ cm}$ ，共需 $12$ 块。