21.5

根与系数的关系

理解一元二次方程两根的和与积由系数决定，并用于根的计算和检验。

约 11 分钟一元二次方程

本文章目录

01 · 出发点

从“根与系数的关系”中的对象与问题出发

研究最高次数为二次的一元方程，掌握多种解法及根的结构。

具体到“根与系数的关系”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

根与系数的关系的定义、条件与表示

若 $x_1,x_2$ 是一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两个根，则根的和为 $-\frac ba$ ，根的积为 $\frac ca$ 。使用前应确认方程有实数根。

理解一元二次方程两根的和与积由系数决定，并用于根的计算和检验。

03 · 方法

先化一般形式，再选择解法

01
把方程整理为 $ax^2+bx+c=0$ ，先确认二次项系数不为零并辨认各项系数。
02
观察结构选择直接开平、因式分解或求根公式；实际问题还要先根据数量关系准确列方程。
03
把候选根代回原方程检验，并结合定义域、长度、时间等实际条件取舍。

04 · 例题

把方法落到具体问题

方程 $x^2-7x+10=0$ 的两根为 $x_1,x_2$ ，求 $x_1^2+x_2^2$ 。

解

1
由根与系数关系得 $x_1+x_2=7$ ， $x_1x_2=10$ 。
2
利用恒等式 $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ 。
3
代入根的和与积，计算 $7^2-2\cdot10=29$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

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本节小结

理解一元二次方程两根的和与积由系数决定，并用于根的计算和检验。
含两个根的式子若交换两根后不变，常能改写成根的和与积，从而避免逐个求根。
两根的平方和为 $29$ 。