6.2

立方根

理解立方根的意义，能求常见数的立方根并认识负数也有立方根。

约 11 分钟实数

本文章目录

01 · 出发点

从“立方根”中的对象与问题出发

由开方运算认识无理数，把数的范围从有理数扩充到实数。

具体到“立方根”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

立方根的定义、条件与表示

若一个数的立方等于给定数，这个数叫该数的立方根。每个实数都有且只有一个实数立方根；正数的立方根为正，零的立方根为零，负数的立方根为负。

理解立方根的意义，能求常见数的立方根并认识负数也有立方根。

03 · 方法

开方与实数的范围判断法

01
先区分平方根、算术平方根和立方根，再检查被开方数的允许范围。
02
判断数的类型时观察它能否写成整数之比，而不是只看根号或小数外形。
03
估算无理数时寻找相邻完全平方数或完全立方数，再逐步缩小区间。

04 · 例题

把方法落到具体问题

求 $\sqrt[3]{-125}$ 。

解

1
结果应为负数，因为被开方数为负。
2
寻找绝对值立方后等于 $125$ 的数，得到 $5^3=125$ 。
3
检验 $(-5)^3=-125$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

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本节小结

理解立方根的意义，能求常见数的立方根并认识负数也有立方根。
立方运算不会把负数变成正数，因此负数可以开立方；这与负数在实数范围内不能开平方形成对比。
$\sqrt[3]{-125}=-5$ 。