15.4

分式的加法与减法

同分母分式直接合并分子，异分母分式先确定最简公分母再通分。

约 11 分钟分式

本文章目录

01 · 出发点

从“分式的加法与减法”中的对象与问题出发

研究分母含字母的式子，掌握分式运算及分式方程的求解。

具体到“分式的加法与减法”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

分式的加法与减法的定义、条件与表示

同分母分式相加减，分母不变、分子相加减；异分母分式先找最简公分母并通分，再合并分子。结果若能约分还要继续化简。

同分母分式直接合并分子，异分母分式先确定最简公分母再通分。

03 · 方法

围绕分母完成变形与检验

01
先记录所有分母不为零的限制条件，再对分子、分母因式分解以观察可约因式。
02
乘除法先约分，加减法先找最简公分母；分式方程则各项同乘最简公分母。
03
化简结果保留原式限制条件，解方程后把候选根代回原分母逐一检验。

04 · 例题

把方法落到具体问题

计算 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x+1}$ 。

解

1
两个分母互质，最简公分母是 $x(x+1)$ 。
2
通分得到 $\dfrac{x+1}{x(x+1)}+\dfrac{2x}{x(x+1)}$ 。
3
合并分子得到 $\dfrac{3x+1}{x(x+1)}$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

同分母分式直接合并分子，异分母分式先确定最简公分母再通分。
分式相减时应给被减分子加括号，例如 $A-(B-C)=A-B+C$ ，避免漏变号。
结果为 $\dfrac{3x+1}{x(x+1)}$ ，其中 $x\ne0,-1$ 。