16.3

二次根式的乘法与除法

掌握二次根式乘除法则，在满足条件时合并或拆分被开方数。

约 11 分钟二次根式

本文章目录

01 · 出发点

从“二次根式的乘法与除法”中的对象与问题出发

理解二次根式的意义和性质，完成化简、运算及实际应用。

具体到“二次根式的乘法与除法”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

二次根式的乘法与除法的定义、条件与表示

非负被开方数的算术平方根相乘，可以合并为乘积的算术平方根；相除时可合并为商的算术平方根，但分母中的被开方数必须为正。运算后继续化简。

掌握二次根式乘除法则，在满足条件时合并或拆分被开方数。

03 · 方法

条件、化简、合并依次处理

01
先由被开方数非负确定取值范围，再判断根式是否能提取完全平方因数。
02
乘除时使用根式法则并同步核对条件，加减时先化为最简二次根式再找同类根式。
03
混合运算遵守运算顺序，适时使用乘法公式，最后检查分母和被开方数是否合法。

04 · 例题

把方法落到具体问题

计算 $\sqrt6\cdot\sqrt{15}$ 。

解

1
两个被开方数均非负，可合并为 $\sqrt{6\times15}$ 。
2
乘积为 $90=9\times10$ 。
3
提出完全平方因数，得到 $\sqrt{90}=3\sqrt{10}$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

掌握二次根式乘除法则，在满足条件时合并或拆分被开方数。
等式 $\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ 在实数范围要求 $a\geq0,b\geq0$ ，不能忽略根式是否有意义。
结果为 $3\sqrt{10}$ 。