14.7

提公因式法

找出多项式各项的最大公因式，把多项式写成公因式与另一个整式的积。

约 11 分钟整式乘法与因式分解

本文章目录

01 · 出发点

从“提公因式法”中的对象与问题出发

建立整式乘法法则和乘法公式，并逆向运用它们分解因式。

具体到“提公因式法”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

提公因式法的定义、条件与表示

若多项式各项都含有相同因式，可利用分配律的逆向形式把公因式提到括号外。公因式通常取各项系数的最大公因数、相同字母的最低次幂及公共多项式因式。

找出多项式各项的最大公因式，把多项式写成公因式与另一个整式的积。

03 · 方法

先辨结构，再运算或分解

01
先判断式子属于幂、单项式、多项式还是乘法公式结构，明确系数、指数和符号。
02
整式乘法按分配律逐项相乘，因式分解则从公因式或公式结构逆向寻找乘积。
03
运算后合并同类项；分解后检查是否已分解到不能继续，并用展开验证结果。

04 · 例题

把方法落到具体问题

分解因式 $12x^3y-18x^2y^2$ 。

解

1
系数的最大公因数为 $6$ ，公共字母部分为 $x^2y$ 。
2
提出 $6x^2y$ ，两项分别相除得到 $2x$ 与 $-3y$ 。
3
写成乘积 $6x^2y(2x-3y)$ ，展开可还原原式。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

找出多项式各项的最大公因式，把多项式写成公因式与另一个整式的积。
提取公因式后，用原多项式的每一项除以公因式填写括号；再用分配律展开一次即可检查。
因式分解结果为 $6x^2y(2x-3y)$ 。