15.6

分式方程及其应用

通过去分母把分式方程化为整式方程，检验增根并解决工程、行程等实际问题。

约 11 分钟分式

本文章目录

01 · 出发点

从“分式方程及其应用”中的对象与问题出发

研究分母含字母的式子，掌握分式运算及分式方程的求解。

具体到“分式方程及其应用”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

分式方程及其应用的定义、条件与表示

分式方程含有分母中的未知数。先确定最简公分母，方程两边各项同乘它，把方程化为整式方程；所得解必须检验是否使原方程任一分母为零。

通过去分母把分式方程化为整式方程，检验增根并解决工程、行程等实际问题。

03 · 方法

围绕分母完成变形与检验

01
先记录所有分母不为零的限制条件，再对分子、分母因式分解以观察可约因式。
02
乘除法先约分，加减法先找最简公分母；分式方程则各项同乘最简公分母。
03
化简结果保留原式限制条件，解方程后把候选根代回原分母逐一检验。

04 · 例题

把方法落到具体问题

解方程 $\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{3}{x+1}$ 。

解

1
原分母要求 $x\ne1,-1$ 。方程两边同乘 $(x-1)(x+1)$ 。
2
得到 $2(x+1)=3(x-1)$ ，解得 $x=5$ 。
3
检验 $x=5$ 不使原分母为零，代入左右两边值相等。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

通过去分母把分式方程化为整式方程，检验增根并解决工程、行程等实际问题。
去分母相当于乘了一个可能为零的含未知数式子，因此整式方程的根可能不是原方程的解。
原方程的解为 $x=5$ 。