11.3
三角形的高、中线与角平分线
准确作出并区分三角形的高、中线和角平分线，观察三类线段的交点。
本文章目录
01 · 出发点
从“三角形的高、中线与角平分线”中的对象与问题出发
从边、角和重要线段研究三角形，并推广到多边形的角度关系。
具体到“三角形的高、中线与角平分线”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。
02 · 概念
三角形的高、中线与角平分线的定义、条件与表示
三角形的高从顶点向对边所在直线作垂线，中线连接顶点与对边中点，角平分线把顶角分成两个相等的角。三角形三条高、中线、角平分线分别交于一点，但三个交点通常不同。
准确作出并区分三角形的高、中线和角平分线，观察三类线段的交点。
03 · 方法
从图形语言到角边关系
- 01
先按题意画出或补全三角形，标清顶点顺序、内外角以及高、中线等已知对象。
- 02
把图形条件翻译成边长或角度关系，再选择三边关系、内角和、外角性质或多边形角和。
- 03
列出等式或不等式完成计算，并回到图形检查角度范围、线段位置和结论是否合理。
04 · 例题
把方法落到具体问题
在三角形中，线段 是边 上的中线，且 ，求 与 。
解
- 1
由 是中线可知，点 是边 的中点。
- 2
因此 。
- 3
代入 ，得到 。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 准确作出并区分三角形的高、中线和角平分线，观察三类线段的交点。
- 作高时垂足可以落在边的延长线上；中线和内角平分线的线段部分始终位于三角形内部。
- 两段长度均为 。