21.4

公式法与判别式

利用求根公式解一元二次方程，并根据判别式判断实数根的个数。

约 11 分钟一元二次方程

本文章目录

01 · 出发点

从“公式法与判别式”中的对象与问题出发

研究最高次数为二次的一元方程，掌握多种解法及根的结构。

具体到“公式法与判别式”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

公式法与判别式的定义、条件与表示

对一般方程 $ax^2+bx+c=0$ ，判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 决定实数根的个数；存在实数根时可代入求根公式。

利用求根公式解一元二次方程，并根据判别式判断实数根的个数。

03 · 方法

先化一般形式，再选择解法

01
把方程整理为 $ax^2+bx+c=0$ ，先确认二次项系数不为零并辨认各项系数。
02
观察结构选择直接开平、因式分解或求根公式；实际问题还要先根据数量关系准确列方程。
03
把候选根代回原方程检验，并结合定义域、长度、时间等实际条件取舍。

04 · 例题

把方法落到具体问题

解方程 $2x^2-3x-2=0$ 。

解

1
辨认系数 $a=2$ 、 $b=-3$ 、 $c=-2$ 。
2
计算判别式 $\Delta=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)=25$ ，所以有两个不相等的实数根。
3
代入求根公式，得到 $x=\dfrac{3\pm5}{4}$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

利用求根公式解一元二次方程，并根据判别式判断实数根的个数。
辨认系数时要保留它前面的正负号，计算 $b^2$ 时还要把整个系数放入平方。
方程的解为 $x_1=2$ ， $x_2=-\dfrac12$ 。