23.4

中心对称图形

判断图形绕某点旋转一百八十度后能否与自身重合，并找出对称中心。

约 11 分钟旋转与中心对称

本文章目录

01 · 出发点

从“中心对称图形”中的对象与问题出发

研究图形绕点转动的变化规律，理解中心对称及多种变换的组合。

具体到“中心对称图形”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

中心对称图形的定义、条件与表示

若一个图形绕某一点旋转 $180^\circ$ 后能与自身重合，它就是中心对称图形，该点称为对称中心。平行四边形的对角线交点是其对称中心。

判断图形绕某点旋转一百八十度后能否与自身重合，并找出对称中心。

03 · 方法

围绕中心追踪对应点

01
标出旋转中心、方向和旋转角，逐一确定原点、对应点及其到中心的连线。
02
利用对应点到中心距离相等、对应线段相等和对应角相等完成作图或推理。
03
组合变换按发生顺序逐步写出中间像，并用距离、角度或坐标规律复核终点。

04 · 例题

把方法落到具体问题

平行四边形 $ABCD$ 的对角线交于点 $O$ 。说明为什么点 $O$ 是对称中心。

解

1
平行四边形对角线互相平分，所以 $OA=OC$ ， $OB=OD$ 。
2
绕点 $O$ 旋转 $180^\circ$ 时，顶点 $A$ 与 $C$ 互换，顶点 $B$ 与 $D$ 互换。
3
四条边依次映到对边，旋转后的图形与原图形完全重合。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

判断图形绕某点旋转一百八十度后能否与自身重合，并找出对称中心。
中心对称图形描述一个图形旋转后与自身重合；两个图形成中心对称描述两个图形之间的对应关系。
平行四边形是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点 $O$ 。