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一元二次方程的应用

在面积、增长率和运动等情境中建立一元二次方程，并依据实际意义取舍方程的根。

约 11 分钟一元二次方程

本文章目录

01 · 出发点

从“一元二次方程的应用”中的对象与问题出发

研究最高次数为二次的一元方程，掌握多种解法及根的结构。

具体到“一元二次方程的应用”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

一元二次方程的应用的定义、条件与表示

应用一元二次方程时，要从面积、增长或运动情境中确定未知量和等量关系。方程的解只是候选结果，还必须经过原方程与实际条件双重检验。

在面积、增长率和运动等情境中建立一元二次方程，并依据实际意义取舍方程的根。

03 · 方法

先化一般形式，再选择解法

01
把方程整理为 $ax^2+bx+c=0$ ，先确认二次项系数不为零并辨认各项系数。
02
观察结构选择直接开平、因式分解或求根公式；实际问题还要先根据数量关系准确列方程。
03
把候选根代回原方程检验，并结合定义域、长度、时间等实际条件取舍。

04 · 例题

把方法落到具体问题

一个长方形的长比宽多 $3\text{ m}$ ，面积为 $54\text{ m}^2$ ，求长和宽。

解

1
设宽为 $x\text{ m}$ ，则长为 $(x+3)\text{ m}$ ，且 $x>0$ 。
2
由面积关系列方程 $x(x+3)=54$ ，整理并分解得 $(x-6)(x+9)=0$ 。
3
候选根为 $6$ 和 $-9$ ；长度必须为正，所以舍去负根。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

在面积、增长率和运动等情境中建立一元二次方程，并依据实际意义取舍方程的根。
设未知数后先用它表示其他相关量，再写等量关系，能够减少凭关键词机械列式造成的错误。
长方形的宽为 $6\text{ m}$ ，长为 $9\text{ m}$ 。