22.1

二次函数的概念

认识二次函数的一般形式，辨认二次项系数并确定实际问题中的自变量范围。

约 11 分钟二次函数

本文章目录

01 · 出发点

从“二次函数的概念”中的对象与问题出发

研究抛物线的图象、性质和最值，连接函数与一元二次方程。

具体到“二次函数的概念”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

二次函数的概念的定义、条件与表示

形如 $y=ax^2+bx+c$ 且 $a\ne0$ 的函数是二次函数。实际情境中除了辨认解析式，还要确定自变量可以取哪些值。

认识二次函数的一般形式，辨认二次项系数并确定实际问题中的自变量范围。

03 · 方法

解析式、图象、范围相互印证

01
先确认二次项系数、实际定义域和问题所求，再选择一般式、顶点式或交点式观察函数。
02
从开口、对称轴、顶点和与坐标轴的交点描绘抛物线，必要时用配方完成形式转换。
03
利用图象的增减与最值回答问题，最后把结果限制在自变量的有效范围内。

04 · 例题

把方法落到具体问题

函数 $y=(m+1)x^2-2x+4$ 是关于 $x$ 的二次函数，求 $m$ 的取值条件。

解

1
解析式只含自变量 $x$ 的非负整数次幂。
2
二次项系数为 $m+1$ ，二次函数要求它不为零。
3
由 $m+1\ne0$ 得到 $m\ne-1$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

认识二次函数的一般形式，辨认二次项系数并确定实际问题中的自变量范围。
先展开、合并同类项再判断最高次数；若二次项抵消，函数会退化为一次函数或常值函数。
当且仅当 $m\ne-1$ 时，该函数是二次函数。