24.3

垂径定理

理解垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧，并使用其推论。

约 11 分钟圆

本文章目录

01 · 出发点

从“垂径定理”中的对象与问题出发

研究圆中点、线、角和弧的关系，并解决切线与度量问题。

具体到“垂径定理”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

垂径定理的定义、条件与表示

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。常通过连接圆心与弦端点构造等腰三角形或直角三角形来计算。

理解垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧，并使用其推论。

03 · 方法

连接圆心，把圆的问题化为三角形

01
先辨认圆心、半径、弦、弧、圆周角或切点，明确各对象所对应的弧与角。
02
适时连接圆心与端点、切点，或作圆心到弦和直线的垂线，构造等腰或直角三角形。
03
选用圆心角、垂径、圆周角或切线性质推导，再检查弧的范围和长度单位。

04 · 例题

把方法落到具体问题

圆的半径为 $13\text{ cm}$ ，圆心到弦 $AB$ 的距离为 $5\text{ cm}$ ，求弦长。

解

1
作 $OM\perp AB$ 于点 $M$ ，由垂径定理得 $AM=MB$ 。
2
在直角三角形 $AOM$ 中， $AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\text{ cm}$ 。
3
整条弦是半弦的两倍，故 $AB=2AM$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

理解垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧，并使用其推论。
一条直线仅仅垂直于弦还不足以平分弦；使用垂径定理时，它还必须经过圆心。
弦 $AB$ 的长度为 $24\text{ cm}$ 。