15.1

分式与有意义条件

认识分式的分子和分母，根据分母不为零确定分式有意义的条件。

约 11 分钟分式

本文章目录

01 · 出发点

从“分式与有意义条件”中的对象与问题出发

研究分母含字母的式子，掌握分式运算及分式方程的求解。

具体到“分式与有意义条件”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

分式与有意义条件的定义、条件与表示

分母中含有字母的式子称为分式。分式有意义的必要且充分条件是分母不为零；求取值范围时只解分母不等于零，不要求分子非零。

认识分式的分子和分母，根据分母不为零确定分式有意义的条件。

03 · 方法

围绕分母完成变形与检验

01
先记录所有分母不为零的限制条件，再对分子、分母因式分解以观察可约因式。
02
乘除法先约分，加减法先找最简公分母；分式方程则各项同乘最简公分母。
03
化简结果保留原式限制条件，解方程后把候选根代回原分母逐一检验。

04 · 例题

把方法落到具体问题

求分式 $\dfrac{x+1}{x^2-9}$ 有意义时 $x$ 的取值范围。

解

1
令原分母不为零： $x^2-9\ne0$ 。
2
因式分解得 $(x-3)(x+3)\ne0$ 。
3
排除使任一因式为零的取值 $x=3$ 与 $x=-3$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

认识分式的分子和分母，根据分母不为零确定分式有意义的条件。
即使后续约分使某个因式消失，该因式为零的取值仍不属于原分式的定义域。
分式有意义的条件是 $x\ne3$ 且 $x\ne-3$ 。