18.5

正方形

从矩形和菱形两个角度理解正方形，综合运用其边、角和对角线性质。

约 11 分钟平行四边形与特殊四边形

本文章目录

01 · 出发点

从“正方形”中的对象与问题出发

从边、角和对角线研究四边形，建立性质与判定之间的联系。

具体到“正方形”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

正方形的定义、条件与表示

正方形既是矩形又是菱形，因此同时具有四个直角、四边相等、对角线相等、互相垂直、互相平分并平分各内角等性质。判定时可在矩形基础上证邻边相等，或在菱形基础上证一个角为直角。

从矩形和菱形两个角度理解正方形，综合运用其边、角和对角线性质。

03 · 方法

区分性质与判定，组织证明链

01
先判断已知图形类型，性质题从名称推出边角关系，判定题则从已有条件推出图形名称。
02
围绕对边、对角和对角线整理条件，缺少关系时可连接对角线或取中点构造三角形。
03
每一步注明平行线、全等或特殊四边形的依据，最后再使用目标图形的专属性质。

04 · 例题

把方法落到具体问题

正方形边长为 $4\text{ cm}$ ，求对角线长。

解

1
正方形相邻两边互相垂直，与一条对角线组成等腰直角三角形。
2
设对角线长为 $d$ ，由勾股定理得 $d^2=4^2+4^2=32$ 。
3
取正平方根并化简，得到 $d=\sqrt{32}=4\sqrt2$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

从矩形和菱形两个角度理解正方形，综合运用其边、角和对角线性质。
涉及直角或对角线相等时优先把正方形看作矩形；涉及四边相等或对角线垂直时优先把它看作菱形。
正方形对角线长为 $4\sqrt2\text{ cm}$ 。