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圆内接四边形

理解圆内接四边形对角互补，并利用圆周角和补角关系完成角度计算与证明。

约 11 分钟圆

本文章目录

01 · 出发点

从“圆内接四边形”中的对象与问题出发

研究圆中点、线、角和弧的关系，并解决切线与度量问题。

具体到“圆内接四边形”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

圆内接四边形的定义、条件与表示

四个顶点都在同一个圆上的四边形是圆内接四边形。它的一组对角所对的两条弧合成整圆，因此两组对角分别互补；一个外角等于它的内对角。

理解圆内接四边形对角互补，并利用圆周角和补角关系完成角度计算与证明。

03 · 方法

连接圆心，把圆的问题化为三角形

01
先辨认圆心、半径、弦、弧、圆周角或切点，明确各对象所对应的弧与角。
02
适时连接圆心与端点、切点，或作圆心到弦和直线的垂线，构造等腰或直角三角形。
03
选用圆心角、垂径、圆周角或切线性质推导，再检查弧的范围和长度单位。

04 · 例题

把方法落到具体问题

四边形 $ABCD$ 内接于圆，已知 $\angle A=72^\circ$ 、 $\angle B=105^\circ$ ，求 $\angle C$ 和 $\angle D$ 。

解

1
圆内接四边形的对角互补，所以 $\angle A+\angle C=180^\circ$ 。
2
计算得到 $\angle C=180^\circ-72^\circ=108^\circ$ 。
3
另一组对角也互补，得到 $\angle D=180^\circ-105^\circ=75^\circ$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

理解圆内接四边形对角互补，并利用圆周角和补角关系完成角度计算与证明。
对角互补是圆内接四边形的专属性质之一。一般四边形不能仅凭图形看起来接近圆周就使用该结论。
有 $\angle C=108^\circ$ ， $\angle D=75^\circ$ 。