19.4

一次函数

认识一次函数的解析式，理解正比例函数是一次函数在常数项为零时的特殊情形。

约 11 分钟一次函数

本文章目录

01 · 出发点

从“一次函数”中的对象与问题出发

用函数描述两个变量之间的对应关系，研究一次变化的图象与应用。

具体到“一次函数”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

一次函数的定义、条件与表示

一次函数形如 $y=kx+b$ ，其中 $k\ne0$ 。当 $b=0$ 时成为正比例函数；常数项反映图象与纵轴的交点。

认识一次函数的解析式，理解正比例函数是一次函数在常数项为零时的特殊情形。

03 · 方法

在式、表、图之间转换

01
先确定自变量、函数值和实际取值范围，分清常量、变量以及每个量的单位。
02
根据条件列解析式或从两点求参数，再用列表描点、斜率和截距把关系转化为图象。
03
通过函数值、交点或图象高低回答数量、方程和不等式问题，并只在有效范围内解释。

04 · 例题

把方法落到具体问题

某车起步价为 $8$ 元，包含 $3\text{ km}$ ；超过后每千米加收 $2$ 元。写出行程 $x\text{ km}$ 且 $x>3$ 时车费 $y$ 。

解

1
超过起步里程的部分为 $x-3$ 千米。
2
超出部分费用为 $2(x-3)$ 元，加上起步价得到 $y=8+2(x-3)$ 。
3
化简为 $y=2x+2$ ，并保留范围 $x>3$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

认识一次函数的解析式，理解正比例函数是一次函数在常数项为零时的特殊情形。
起步价、阶梯费用等问题在不同范围采用不同规则，应分别写出每一段解析式和对应的自变量范围。
超过起步里程时，车费函数为 $y=2x+2$ ，其中 $x>3$ 。