15.2

分式的基本性质与约分

理解分式分子分母同乘或同除一个非零整式时值不变，并把分式约成最简形式。

约 11 分钟分式

本文章目录

01 · 出发点

从“分式的基本性质与约分”中的对象与问题出发

研究分母含字母的式子，掌握分式运算及分式方程的求解。

具体到“分式的基本性质与约分”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

分式的基本性质与约分的定义、条件与表示

分式的分子、分母同乘或同除一个不为零的整式，分式值不变。约分前先将分子和分母因式分解，再约去公因式，并保留原分母带来的限制条件。

理解分式分子分母同乘或同除一个非零整式时值不变，并把分式约成最简形式。

03 · 方法

围绕分母完成变形与检验

01
先记录所有分母不为零的限制条件，再对分子、分母因式分解以观察可约因式。
02
乘除法先约分，加减法先找最简公分母；分式方程则各项同乘最简公分母。
03
化简结果保留原式限制条件，解方程后把候选根代回原分母逐一检验。

04 · 例题

把方法落到具体问题

化简 $\dfrac{x^2-4}{x^2-2x}$ 。

解

1
先确定原分母限制： $x(x-2)\ne0$ ，即 $x\ne0,2$ 。
2
因式分解： $x^2-4=(x-2)(x+2)$ ， $x^2-2x=x(x-2)$ 。
3
在限制条件下约去公因式 $x-2$ ，得到 $\dfrac{x+2}{x}$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

理解分式分子分母同乘或同除一个非零整式时值不变，并把分式约成最简形式。
在 $\dfrac{A+B}{A}$ 中，分子是两项之和，不能跨加号约去 $A$ 。
原分式化简为 $\dfrac{x+2}{x}$ ，但仍要求 $x\ne0,2$ 。