三角形的内心与外心

理解三角形内心是三条角平分线交点、外心是三边垂直平分线交点，并比较两者的距离性质。

约 11 分钟圆

本文章目录

01 · 出发点

从“三角形的内心与外心”中的对象与问题出发

研究圆中点、线、角和弧的关系，并解决切线与度量问题。

具体到“三角形的内心与外心”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

三角形三条内角平分线交于内心，内心到三边的距离相等，是内切圆圆心；三边垂直平分线交于外心，外心到三个顶点的距离相等，是外接圆圆心。内心始终在三角形内，外心的位置随三角形类型变化。

理解三角形内心是三条角平分线交点、外心是三边垂直平分线交点，并比较两者的距离性质。

03 · 方法

04 · 例题

一个直角三角形的两条直角边长为 $6\text{ cm}$ 和 $8\text{ cm}$ 。求其外接圆半径与内切圆半径。

解

1
由勾股定理得斜边长为 $\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ cm}$ 。
2
直角三角形的外心是斜边中点，所以外接圆半径为 $R=\dfrac{10}{2}=5\text{ cm}$ 。
3
三角形面积为 $24\text{ cm}^2$ 、半周长为 $12\text{ cm}$ ，由 $S=rs$ 得内切圆半径 $r=2\text{ cm}$ 。

05 · 辨析

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