19.3

正比例函数

理解正比例函数的解析式和过原点的直线图象，根据比例系数判断增减。

约 11 分钟一次函数

本文章目录

01 · 出发点

从“正比例函数”中的对象与问题出发

用函数描述两个变量之间的对应关系，研究一次变化的图象与应用。

具体到“正比例函数”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

正比例函数的定义、条件与表示

正比例函数形如 $y=kx$ ，其中比例系数 $k\ne0$ 。图象是经过原点的直线；比例系数为正时函数随自变量增大而增大，为负时随自变量增大而减小。

理解正比例函数的解析式和过原点的直线图象，根据比例系数判断增减。

03 · 方法

在式、表、图之间转换

01
先确定自变量、函数值和实际取值范围，分清常量、变量以及每个量的单位。
02
根据条件列解析式或从两点求参数，再用列表描点、斜率和截距把关系转化为图象。
03
通过函数值、交点或图象高低回答数量、方程和不等式问题，并只在有效范围内解释。

04 · 例题

把方法落到具体问题

正比例函数图象经过点 $(2,-6)$ ，求解析式并求 $x=-3$ 时的函数值。

解

1
设解析式为 $y=kx$ 。
2
代入点 $(2,-6)$ ，得到 $-6=2k$ ，所以 $k=-3$ 。
3
解析式为 $y=-3x$ ；代入 $x=-3$ 得 $y=9$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

理解正比例函数的解析式和过原点的直线图象，根据比例系数判断增减。
一次关系若含有非零常数项，就不是正比例函数；仅有变量成一次还不够，还要满足 $x=0$ 时 $y=0$ 。
函数解析式是 $y=-3x$ ，所求函数值为 $9$ 。