16.5

二次根式的混合运算与应用

综合使用运算顺序、乘法公式和二次根式法则，并处理长度与面积问题。

约 11 分钟二次根式

本文章目录

01 · 出发点

从“二次根式的混合运算与应用”中的对象与问题出发

理解二次根式的意义和性质，完成化简、运算及实际应用。

具体到“二次根式的混合运算与应用”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

二次根式的混合运算与应用的定义、条件与表示

二次根式混合运算遵循先乘方、再乘除、后加减的顺序；括号优先。含共轭形式时可利用平方差公式，含完全平方形式时可用完全平方公式简化。

综合使用运算顺序、乘法公式和二次根式法则，并处理长度与面积问题。

03 · 方法

条件、化简、合并依次处理

01
先由被开方数非负确定取值范围，再判断根式是否能提取完全平方因数。
02
乘除时使用根式法则并同步核对条件，加减时先化为最简二次根式再找同类根式。
03
混合运算遵守运算顺序，适时使用乘法公式，最后检查分母和被开方数是否合法。

04 · 例题

把方法落到具体问题

计算 $(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)$ 。

解

1
两个因式具有 $(a+b)(a-b)$ 的平方差结构。
2
令 $a=\sqrt5$ 、 $b=2$ ，得到 $a^2-b^2$ 。
3
计算 $(\sqrt5)^2-2^2=5-4=1$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

综合使用运算顺序、乘法公式和二次根式法则，并处理长度与面积问题。
长度与面积问题中应先保留根式精确值，题目明确要求近似值时再在最后一步取近似，避免误差逐步累积。
原式的值为 $1$ 。