11.7

三角形的重心

认识三条中线的交点是三角形重心，理解重心把每条中线分成二比一的两段。

约 11 分钟三角形

本文章目录

01 · 出发点

从“三角形的重心”中的对象与问题出发

从边、角和重要线段研究三角形，并推广到多边形的角度关系。

具体到“三角形的重心”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

三角形的重心的定义、条件与表示

三角形三条中线相交于一点，这个点叫作三角形的重心。重心在三角形内部，并把每条中线按从顶点到对边中点的方向分成二比一。

认识三条中线的交点是三角形重心，理解重心把每条中线分成二比一的两段。

03 · 方法

从图形语言到角边关系

01
先按题意画出或补全三角形，标清顶点顺序、内外角以及高、中线等已知对象。
02
把图形条件翻译成边长或角度关系，再选择三边关系、内角和、外角性质或多边形角和。
03
列出等式或不等式完成计算，并回到图形检查角度范围、线段位置和结论是否合理。

04 · 例题

把方法落到具体问题

三角形 $ABC$ 的中线 $AD=12\text{ cm}$ ，重心为 $G$ 。求 $AG$ 和 $GD$ 。

解

1
重心分中线的比例为 $AG:GD=2:1$ 。
2
中线全长对应三份，每份为 $12\div3=4\text{ cm}$ 。
3
所以 $AG=2\times4=8\text{ cm}$ ， $GD=4\text{ cm}$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

认识三条中线的交点是三角形重心，理解重心把每条中线分成二比一的两段。
顶点到重心的线段较长，重心到对边中点的线段较短；写比例时先标清顶点和中点。
$AG=8\text{ cm}$ ， $GD=4\text{ cm}$ 。