25.4

用频率估计概率

观察大量重复试验中频率的稳定性，用稳定频率估计难以直接计算的概率。

约 11 分钟概率初步

本文章目录

01 · 出发点

从“用频率估计概率”中的对象与问题出发

区分随机与确定现象，用列举和试验频率刻画事件发生的可能性。

具体到“用频率估计概率”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

用频率估计概率的定义、条件与表示

在相同条件下进行大量重复试验时，某事件的频率通常在其概率附近波动，并随试验次数增加呈现稳定趋势。因此可用大量试验中的稳定频率估计理论上难以计算的概率。

观察大量重复试验中频率的稳定性，用稳定频率估计难以直接计算的概率。

03 · 方法

列清样本空间，再计算或估计

01
先明确一次随机试验、事件和所有可能结果，判断结果是否等可能。
02
结果有限且等可能时用列举、列表或树状图计数；不便理论计算时设计重复试验记录频率。
03
把概率解释回具体事件，并从长期趋势、样本量和规则对称性评价结论。

04 · 例题

把方法落到具体问题

某次硬币试验共抛掷 $2000$ 次，其中正面朝上 $1018$ 次。用频率估计正面朝上的概率。

解

1
事件出现次数为 $1018$ ，试验总次数为 $2000$ 。
2
计算频率 $\dfrac{1018}{2000}=0.509$ 。
3
试验次数较多，可把这一稳定频率作为概率的近似估计。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

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本节小结

观察大量重复试验中频率的稳定性，用稳定频率估计难以直接计算的概率。
频率的稳定是总体趋势，不表示试验次数每增加一次误差就必然减小；评价估计还应报告总次数和事件出现次数。
正面朝上的概率估计为 $0.509$ ，与理论值 $0.5$ 较接近。