17.4
勾股定理的应用
把折叠、展开、距离和最短路径等问题转化为直角三角形边长计算。
本文章目录
01 · 出发点
从“勾股定理的应用”中的对象与问题出发
建立直角三角形三边的数量关系，并利用逆定理判断直角。
具体到“勾股定理的应用”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。
02 · 概念
勾股定理的应用的定义、条件与表示
实际问题中往往要通过作垂线、连接端点或展开曲面构造直角三角形。把水平、竖直、对角或展开后的路径对应到三边，再用勾股定理求距离。
把折叠、展开、距离和最短路径等问题转化为直角三角形边长计算。
03 · 方法
构造直角三角形并核对斜边
- 01
从图形中找出直角三角形；若题目是空间展开或最短路径，先展开、作高或连接端点。
- 02
确定直角所对的斜边，把两直角边和斜边分别代入勾股关系或其逆定理。
- 03
完成平方运算后取符合长度意义的非负值，并结合单位与实际范围解释答案。
04 · 例题
把方法落到具体问题
一块长方形场地长 、宽 ，求连接两个相对顶点的直线路径长度。
解
- 1
长、宽互相垂直，与对角线组成直角三角形。
- 2
设对角线长为 ，列式 。
- 3
计算 ，取正值得 。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
回看
本节小结
- 把折叠、展开、距离和最短路径等问题转化为直角三角形边长计算。
- 圆柱或长方体表面上的路径不是空间中的穿越线段；应把相关侧面展开到同一平面，再连接两点。
- 直线路径长为 。