6.5

实数与数轴

理解每个实数都对应数轴上的一个点，并利用数轴比较实数大小和表示范围。

约 11 分钟实数

本文章目录

01 · 出发点

从“实数与数轴”中的对象与问题出发

由开方运算认识无理数，把数的范围从有理数扩充到实数。

具体到“实数与数轴”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

实数与数轴的定义、条件与表示

实数与数轴上的点一一对应，数轴上的次序给出实数大小关系。比较含无理数的实数时，可利用平方、近似值或夹逼找到其在相邻有理数之间的位置。

理解每个实数都对应数轴上的一个点，并利用数轴比较实数大小和表示范围。

03 · 方法

开方与实数的范围判断法

01
先区分平方根、算术平方根和立方根，再检查被开方数的允许范围。
02
判断数的类型时观察它能否写成整数之比，而不是只看根号或小数外形。
03
估算无理数时寻找相邻完全平方数或完全立方数，再逐步缩小区间。

04 · 例题

把方法落到具体问题

比较 $\sqrt5$ 与 $2.3$ 的大小。

解

1
两个数都非负，可以比较它们的平方。
2
$(\sqrt5)^2=5$ ，而 $2.3^2=5.29$ 。
3
因为 $5<5.29$ ，非负数平方的大小顺序一致。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

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本节小结

理解每个实数都对应数轴上的一个点，并利用数轴比较实数大小和表示范围。
两个非负数可通过比较平方确定大小；若数可能为负，应先判断符号，否则平方会丢失原数的正负信息。
$\sqrt5<2.3$ 。