28.2

余弦与正切

用邻边与斜边之比定义余弦，用对边与邻边之比定义正切，并区分三种边长比。

约 11 分钟锐角三角函数与解直角三角形

本文章目录

01 · 出发点

从“余弦与正切”中的对象与问题出发

用边长比描述锐角，借助三角函数解决直角三角形测量问题。

具体到“余弦与正切”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

余弦与正切的定义、条件与表示

在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比是余弦，对边与邻边之比是正切。三种三角函数都围绕同一个参考锐角命名边。

用邻边与斜边之比定义余弦，用对边与邻边之比定义正切，并区分三种边长比。

03 · 方法

固定锐角，选择恰当边长比

01
把实际情境画成直角三角形，标出直角、所研究的锐角以及已知边和目标边。
02
相对该锐角辨认对边、邻边和斜边，根据已知与所求选择正弦、余弦或正切。
03
列式求值并按要求取近似数，最后核对边的大小、角的范围和测量单位。

04 · 例题

把方法落到具体问题

直角三角形中，锐角 $A$ 的对边为 $5$ ，邻边为 $12$ ，斜边为 $13$ 。求 $\cos A$ 和 $\tan A$ 。

解

1
余弦使用邻边与斜边，得到 $\cos A=\dfrac{12}{13}$ 。
2
正切使用对边与邻边，得到 $\tan A=\dfrac5{12}$ 。
3
核对余弦小于 $1$ ，两个比值都为正，符合锐角三角函数范围。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

用邻边与斜边之比定义余弦，用对边与邻边之比定义正切，并区分三种边长比。
锐角两侧有两条边，其中斜边单独命名，另一条直角边才称为该锐角的邻边。
有 $\cos A=\dfrac{12}{13}$ ， $\tan A=\dfrac5{12}$ 。