14.8

公式法因式分解

识别平方差和完全平方式的结构，利用乘法公式逆向进行因式分解。

约 11 分钟整式乘法与因式分解

本文章目录

01 · 出发点

从“公式法因式分解”中的对象与问题出发

建立整式乘法法则和乘法公式，并逆向运用它们分解因式。

具体到“公式法因式分解”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

公式法因式分解的定义、条件与表示

公式法把乘法公式逆向使用：两项平方差可写成和与差的积；三项若首末为平方且中间为两倍乘积，则可写成完全平方式。分解前常先提公因式。

识别平方差和完全平方式的结构，利用乘法公式逆向进行因式分解。

03 · 方法

先辨结构，再运算或分解

01
先判断式子属于幂、单项式、多项式还是乘法公式结构，明确系数、指数和符号。
02
整式乘法按分配律逐项相乘，因式分解则从公因式或公式结构逆向寻找乘积。
03
运算后合并同类项；分解后检查是否已分解到不能继续，并用展开验证结果。

04 · 例题

把方法落到具体问题

分解因式 $3x^3-12x$ 。

解

1
先提出公因式 $3x$ ，得到 $3x(x^2-4)$ 。
2
括号内是平方差： $x^2-4=x^2-2^2$ 。
3
应用平方差公式得到 $3x(x+2)(x-2)$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

识别平方差和完全平方式的结构，利用乘法公式逆向进行因式分解。
若首项为负，可先提出 $-1$ ，再观察括号内是否出现平方差或完全平方结构。
彻底分解后为 $3x(x+2)(x-2)$ 。