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二次函数的最值与实际应用

把利润、面积和运动问题转化为二次函数，在实际取值范围内求最优结果。

约 11 分钟二次函数

本文章目录

01 · 出发点

从“二次函数的最值与实际应用”中的对象与问题出发

研究抛物线的图象、性质和最值，连接函数与一元二次方程。

具体到“二次函数的最值与实际应用”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

二次函数的最值与实际应用的定义、条件与表示

二次函数最值模型常来自两个一次量的乘积。先建立函数并确定自变量范围，再比较顶点与区间端点，才能得到符合实际条件的最优方案。

把利润、面积和运动问题转化为二次函数，在实际取值范围内求最优结果。

03 · 方法

解析式、图象、范围相互印证

01
先确认二次项系数、实际定义域和问题所求，再选择一般式、顶点式或交点式观察函数。
02
从开口、对称轴、顶点和与坐标轴的交点描绘抛物线，必要时用配方完成形式转换。
03
利用图象的增减与最值回答问题，最后把结果限制在自变量的有效范围内。

04 · 例题

把方法落到具体问题

用 $20\text{ m}$ 围栏靠墙围一个矩形，只围三边。怎样确定矩形面积最大时的长和宽？

解

1
设垂直墙面的宽为 $x\text{ m}$ ，沿墙的长为 $(20-2x)\text{ m}$ ，其中 $0<x<10$ 。
2
面积函数为 $S=x(20-2x)=-2(x-5)^2+50$ 。
3
顶点横坐标 $5$ 在有效范围内，所以此时面积最大，沿墙长度为 $10\text{ m}$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

把利润、面积和运动问题转化为二次函数，在实际取值范围内求最优结果。
若顶点不在有效区间内，区间上的最值会出现在边界；离散取值问题还需比较顶点附近允许的整数。
宽为 $5\text{ m}$ 、长为 $10\text{ m}$ 时，最大面积为 $50\text{ m}^2$ 。