6.6

实数运算与估算

在实数范围内运用运算律，借助夹逼和计算工具估算无理数及运算结果。

约 11 分钟实数

本文章目录

01 · 出发点

从“实数运算与估算”中的对象与问题出发

由开方运算认识无理数，把数的范围从有理数扩充到实数。

具体到“实数运算与估算”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

实数运算与估算的定义、条件与表示

实数范围内仍可使用加法、乘法的交换律、结合律和分配律。无理数估算可用相邻完全平方数确定整数区间，再计算更细小数的平方逐步夹逼；近似结果要注明精确要求。

在实数范围内运用运算律，借助夹逼和计算工具估算无理数及运算结果。

03 · 方法

开方与实数的范围判断法

01
先区分平方根、算术平方根和立方根，再检查被开方数的允许范围。
02
判断数的类型时观察它能否写成整数之比，而不是只看根号或小数外形。
03
估算无理数时寻找相邻完全平方数或完全立方数，再逐步缩小区间。

04 · 例题

把方法落到具体问题

估算 $\sqrt{10}$ ，精确到百分位。

解

1
$3^2<10<4^2$ ，所以 $3<\sqrt{10}<4$ 。
2
进一步计算 $3.16^2=9.9856$ ， $3.17^2=10.0489$ 。
3
再比较舍入中点： $3.165^2=10.017225>10$ ，所以 $3.16<\sqrt{10}<3.165$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

在实数范围内运用运算律，借助夹逼和计算工具估算无理数及运算结果。
估算算术平方根时，应让区间两端都非负，并通过平方验证被开方数确实落在两端平方之间。
$\sqrt{10}\approx3.16$ ，该结果精确到百分位。