20.5
离差平方和、方差与标准差
计算离差平方和与方差，理解它们刻画数据离散程度的意义，并认识标准差与原数据单位一致。
本文章目录
01 · 出发点
从“离差平方和、方差与标准差”中的对象与问题出发
用集中趋势和离散程度刻画数据，并根据样本作出审慎判断。
具体到“离差平方和、方差与标准差”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。
02 · 概念
离差平方和、方差与标准差的定义、条件与表示
极差是最大值与最小值之差，只利用两个数据。各数据与平均数之差的平方相加得到离差平方和；方差是离差平方和除以数据个数，标准差是方差的算术平方根。离差平方和或方差越大，通常表示数据越分散。
计算离差平方和与方差，理解它们刻画数据离散程度的意义，并认识标准差与原数据单位一致。
03 · 方法
先问数据来源，再选统计量
- 01
明确总体、个体、样本和调查目标，检查抽样方式能否覆盖总体中的主要类型。
- 02
根据问题选择平均数、中位数、众数或离散程度，并把统计量与图表分布结合起来。
- 03
比较时统一口径和单位，说明样本结论的适用范围、随机误差及可能的偏差来源。
04 · 例题
把方法落到具体问题
求数据 的极差、方差和标准差。
解
- 1
平均数为 ，极差为 。
- 2
方差为 。
- 3
标准差为 。
05 · 辨析
容易忽略的条件与边界
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本节小结
- 计算离差平方和与方差，理解它们刻画数据离散程度的意义，并认识标准差与原数据单位一致。
- 方差的单位是原单位的平方，标准差恢复为原单位，因此比较实际波动幅度时标准差往往更直观。
- 极差为 ，方差为 ，标准差为 。