22.6

二次函数与一元二次方程

把方程的实数根解释为抛物线与横轴交点的横坐标，利用图象判断根的情况。

约 11 分钟二次函数

本文章目录

01 · 出发点

从“二次函数与一元二次方程”中的对象与问题出发

研究抛物线的图象、性质和最值，连接函数与一元二次方程。

具体到“二次函数与一元二次方程”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

二次函数与一元二次方程的定义、条件与表示

方程 $ax^2+bx+c=0$ 的实数根就是抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与横轴交点的横坐标。交点有两个、一个或没有，分别对应判别式为正、为零或为负。

把方程的实数根解释为抛物线与横轴交点的横坐标，利用图象判断根的情况。

03 · 方法

解析式、图象、范围相互印证

01
先确认二次项系数、实际定义域和问题所求，再选择一般式、顶点式或交点式观察函数。
02
从开口、对称轴、顶点和与坐标轴的交点描绘抛物线，必要时用配方完成形式转换。
03
利用图象的增减与最值回答问题，最后把结果限制在自变量的有效范围内。

04 · 例题

把方法落到具体问题

求抛物线 $y=x^2-4x+3$ 与横轴的交点。

解

1
横轴上的点满足 $y=0$ ，所以解方程 $x^2-4x+3=0$ 。
2
因式分解得 $(x-1)(x-3)=0$ 。
3
得到横坐标 $x=1$ 或 $x=3$ ，并配上纵坐标零。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

把方程的实数根解释为抛物线与横轴交点的横坐标，利用图象判断根的情况。
方程的解是数；函数图象与横轴的交点是坐标点，其纵坐标固定为零。
抛物线与横轴交于 $(1,0)$ 和 $(3,0)$ 。