27.7

相似的实际应用

利用相似三角形测量不能直接测得的高度或距离，并检查比例模型的适用条件。

约 11 分钟图形的相似

本文章目录

01 · 出发点

从“相似的实际应用”中的对象与问题出发

用比例刻画形状相同、大小可变的图形，研究相似三角形及位似。

具体到“相似的实际应用”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

相似的实际应用的定义、条件与表示

测量不可直接到达的高度或距离时，可利用平行光线、共同视线或平行线构造相似三角形，把待测量与可测量线段建立比例。

利用相似三角形测量不能直接测得的高度或距离，并检查比例模型的适用条件。

03 · 方法

先定对应，再列比例

01
先根据角、平行关系或最长边等特征确定对应顶点，并按同一顺序写出两个图形。
02
判定相似时凑齐角或边的条件；应用性质时只列对应边、对应高、周长或面积的比例。
03
解出未知量后检查相似比的方向是否前后一致，并结合图形大小判断结果。

04 · 例题

把方法落到具体问题

同一时刻，一根高 $1.5\text{ m}$ 的竖直标杆影长为 $2\text{ m}$ ，一棵树的影长为 $8\text{ m}$ 。求树高。

解

1
太阳光线近似平行，标杆和树都垂直地面，形成的两个直角三角形相似。
2
设树高为 $h\text{ m}$ ，按高度与影长对应列式 $\dfrac{h}{8}=\dfrac{1.5}{2}$ 。
3
解比例式，得到 $h=6$ 。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

利用相似三角形测量不能直接测得的高度或距离，并检查比例模型的适用条件。
影长法要求同一时刻测量，使太阳光方向近似相同；标杆应竖直，地面应近似水平。
树高约为 $6\text{ m}$ 。