17.3

勾股定理的逆定理

根据三边平方关系判断三角形是否为直角三角形，并识别常见勾股数。

约 11 分钟勾股定理

本文章目录

01 · 出发点

从“勾股定理的逆定理”中的对象与问题出发

建立直角三角形三边的数量关系，并利用逆定理判断直角。

具体到“勾股定理的逆定理”，先辨认题目中的对象、已知条件和所求结论，再判断需要计算、作图、建模还是证明。

02 · 概念

勾股定理的逆定理的定义、条件与表示

若三角形三边中最长边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形，最长边所对角为直角。这是勾股定理的逆定理。

根据三边平方关系判断三角形是否为直角三角形，并识别常见勾股数。

03 · 方法

构造直角三角形并核对斜边

01
从图形中找出直角三角形；若题目是空间展开或最短路径，先展开、作高或连接端点。
02
确定直角所对的斜边，把两直角边和斜边分别代入勾股关系或其逆定理。
03
完成平方运算后取符合长度意义的非负值，并结合单位与实际范围解释答案。

04 · 例题

把方法落到具体问题

判断三边长为 $7,24,25$ 的三角形是否为直角三角形。

解

1
最长边是 $25$ ，且 $7+24>25$ ，三边能组成三角形。
2
计算较短两边平方和： $7^2+24^2=49+576=625$ 。
3
最长边平方为 $25^2=625$ ，两者相等。

05 · 辨析

容易忽略的条件与边界

回看

本节小结

根据三边平方关系判断三角形是否为直角三角形，并识别常见勾股数。
设最长边为 $c$ ，比较 $a^2+b^2$ 与 $c^2$ ；不能任意选择一边放在等式右侧。
该三角形是直角三角形，最长边所对角为直角。